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Problème 155

Partitions premières d’un rectangle

ABCD est un rectangle tel que AB ≥ AD. AB, AD, AE et AF sont des longueurs entières.
  • Une configuration est dite première lorsque les 8 surfaces Si (i = 1, 2, ..., 8) sont entières et premières entre elles (globalement et pas deux à deux).
  • Deux configurations premières G et G’ sont dites équivalentes si : {S'1, S'2, S'3, S'4, S'5, S'6, S'7, S'8} = {S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8} (on parle bien d'ensembles).
  • Parmi un ensemble de configurations premières équivalentes, on convient d'appeler configuration principale celle telle que AB est minimal (ce qui revient à choisir celle de périmètre minimal ou encore celle se rapprochant le plus d’un carré...).
Exemples
  1. (AB, AD, AE, AF) = (10, 6, 5, 3) est la plus petite configuration principale, avec : (S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8) = (10, 3, 3, 16, 12, 12, 2, 2), et une aire totale de 60.

  2. (21, 16, 14, 8) est une configuration principale qui donne (70, 8, 21, 99, 48, 63, 6, 21), et une aire totale de 336.

Soit N le nombre de configurations premières principales lorsque AB ≤ 100. Ces N configurations donnent seulement (N – k) aires totales distinctes, car k d'entre elles sont obtenues deux fois. On note P la somme de ces k aires.

Que vaut N x P ?

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