Défi Turing

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Problème 163

Suite à indices premiers

On définit une suite par cette relation de récurrence :

Pn+1 = Pn-1 + Pn-2 , avec P0 = 3, P1 = 0 et P2 = 2.

Les 18 premiers termes de cette suite sont : 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, 51, 68, 90, 119

On remarque que : P2 = 2, P3 = 3, P5 = 5, P7 = 7, P11 = 22 = 2x11, P13 = 39 = 3x13, P17 = 119 = 7x17.

Or, 2, 3, 5, 7, 11, 13 et 17 forment le début de la suite des nombres premiers. Les autres termes ne sont pas des multiples de leur indice.
On pourrait conjecturer que si Pn est un multiple de n alors n est un nombre premier. Pourtant cette conjecture est fausse.

Quel est le plus petit entier n > 18 non premier tel que Pn soit un multiple de n ?

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