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Problème 175

Tuiles hexagonales

Une tuile hexagonale portant le numéro 1 est entourée d'un anneau de six tuiles numérotées de 2 à 7, la première tuile de l'anneau étant posée à midi et en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
De nouveaux anneaux sont ajoutés de la même façon, les anneaux suivants étant numérotés 8 à 19, de 20 à 37, de 38 à 61, et ainsi de suite.
Le diagramme ci-contre montre les trois premiers anneaux.

En calculant la différence entre la tuile numérotée n et chacune de ses six voisines, nous appellerons DP(n) le nombre de ces différences qui sont un nombre premier.
Par exemple, autour de la tuile numéro 8, les différences sont 12, 29, 11, 6, 1 et 13. Donc DP(8)=3.
De la même manière, autour de la tuile numéro 17, les différences sont 1, 17, 16, 1, 11 et 10, d'où DP(17)=2.
On peut montrer que la valeur maximale de DP(n) est 3.
Quand toutes les tuiles pour lesquelles DP(n)=3 sont énumérées dans l'ordre croissant pour former une suite, la 10ème tuile porte le numéro 271.

Trouver le numéro de la 2016ème tuile de cette suite.

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