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Problème 190

Des montagnes de nombres premiers

Des "montagnes" ayant toutes des pentes de 45° exactement et des altitudes régies par les nombres premiers pn se succèdent pour former une chaîne de montagnes. La hauteur de la face gauche de la kème montagne est p2k–1 tandis que celle de droite est p2k. Les premières montagnes de cette chaîne sont représentées ci-dessous.


Tenzing se fixe de gravir ces montagnes l'une après l'autre, en commençant par la moins élevée. Au sommet de chaque pic, il regarde en arrière et compte combien de sommets précédemment conquis il peut voir.
Dans l'exemple ci-dessous, la ligne de vision à partir du troisième sommet, dessinée en rouge, montre qu'il ne peut voir que le deuxième sommet. De même, à partir du 9ème sommet, il peut voir seulement trois pics : le 5ème, le 7ème et le 8ème.
Soit P(k) le nombre de pics visibles en regardant en arrière du kème sommet. On a P(3)=1 et P(9)=3. En outre, la somme des P(k), pour k allant de 1 à 100, vaut 227.

Que vaut la somme des P(k), pour k allant de 1 à 10'000 ?

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