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Problème 195

987654321

Dans cette énigme, il s'agit d'insérer des signes + ou – entre certains des chiffres de 9 à 1 de façon à obtenir une égalité exacte.
Avec sept signes d'addition et de soustraction on peut écrire par exemple : 9 + 8 + 76 + 5 + 4 – 3 + 2 – 1 = 100. Mais il existe 14 autres manières d'écrire 100 et il est surtout possible d'utiliser moins de signes; ainsi, avec seulement quatre signes, on obtient :

98 – 76 + 54 + 3 + 21 = 100.

On souhaite écrire le plus grand nombre d'entiers naturels consécutifs de cette manière, en utilisant un minimum de signes opératoires. Voici un début possible :
  • 9 + 8 – 76 – 5 + 43 + 21 = 0
  • 98 – 76 – 54 + 32 + 1 = 1
  • 9 + 87 – 65 + 4 – 32 – 1 = 2
  • etc.
Soit A le premier entier ne pouvant pas s'écrire de cette manière. La suite ira de 0 à A-1.
Soit B le nombre total de signes opératoires utilisés pour écrire tous les entiers inférieurs à A.
Soit C l'entier inférieur à A pouvant être obtenu avec le moins de signes opératoires.
Soient D1, D2, ..., Dn , les entiers inférieurs à A ne pouvant s'écrire que d'une seule manière (dans le sens où 100 peut s'écrire de 15 manières...).

Que vaut A x B x C x D1 x D2 x ... x Dn ?

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