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Problème 210

Nombres cycliques

Un nombre cyclique de longueur n est un entier naturel dont les permutations circulaires des chiffres correspondent aux (n–1) premiers multiples du nombre. Le plus connu (et le plus petit) est 142 857, de longueur 6, car :

142'857 × 2 = 285'714
142'857 × 3 = 428'571
142'857 × 4 = 571'428
142'857 × 5 = 714'285
142'857 × 6 = 857'142

Si les zéros ne sont pas permis au début des nombres, alors 142'857 est le seul nombre cyclique en base 10. Par contre, s'ils sont permis, la liste des nombres cycliques se poursuit ainsi :

0588235294117647 (16 chiffres) ; 052631578947368421 (18 chiffres) ; …

Un nombre premier p est dit long si la période du développement décimal de 1/p est de longueur p–1. Par exemple : 1/7 = 0,142857 142857... La période (142857) est de longueur 6, donc 7 est un premier long.

Remarque : La période de 1/p commence alors toujours par le chiffre des dixièmes du développement décimal.

Or, de manière tout à fait extraordinaire, la liste des nombres cycliques coïncide exactement avec la liste des périodes des premiers longs ! En effet, le deuxième premier long est 17 et on a bien 1/17 = 0,0588235294117647 0588235294117647...

Soit S(n) la somme de tous les nombres cycliques d'au plus n chiffres. Ainsi, S(10) = 142'857 et S(20) = 53'219'814'241'628'925.

Quels sont les 10 derniers chiffres de S(5000) ?

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