Défi Turing

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Problème 212

Triangles de père en fils

Considérons la transformation géométrique suivante : un triangle initial (le « triangle père ») étant donné, prenons comme sommets du nouveau triangle (le « triangle fils ») les pieds des bissectrices de l'ancien.
Cette transformation a pour particularité d'atténuer les différences entre les angles du triangle initial. Ainsi, si l'on itère le procédé, deux triangles de forme différente au départ conduiront, via cette transformation, à des triangles de plus en plus « semblables » et proches de la forme limite commune équilatérale. Ce fait, loin d'être évident, n'a été démontré qu'en 2006.
En revanche, il est clair que la suite des triangles itérés converge vers un point G. Mais ce dernier ne se laisse pas décrire explicitement (sauf dans le cas du triangle équilatéral, évidemment!).
Intéressons-nous maintenant au cas non trivial le plus simple possible : soient ABC un triangle initial isocèle et rectangle en A, et G le point de convergence de la suite des triangles itérés.

Quelle est la valeur de AG/AB, arrondie à 10–9 près ? On saisira les 9 premières décimales du résultat obtenu.

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