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Problème 225

Les enveloppes de Héron

Une enveloppe est un pentagone composé d'un triangle isocèle (le rabat) placé au-dessus d'un rectangle.
Voici un exemple d'enveloppe à côtés de longueurs entières :


On notera que pour former une enveloppe, la hauteur issue de C du triangle BCD doit être inférieure à la hauteur AB du rectangle ABDE. Par ailleurs, AE peut très bien être inférieur ou égal à AB.
Dans l'enveloppe de l'exemple ci-dessus, non seulement tous les côtés sont entiers, mais également toutes les diagonales (AC, AD, BD, BE et CE). Nous appellerons une enveloppe avec de telles propriétés une enveloppe de Héron.
Soit S(p) la somme des périmètres de toutes les enveloppes de Héron avec un périmètre inférieur ou égal à p.
On donne : S(500) = 488, S(1000) = 5386, S(1500) = 11'460, S(2000) = 25'282 et S(2500) = 43'864.

Que vaut S(25'000) ?

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