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Problème 239

Dissection de factorielles

Considérons le nombre 48.
Il existe cinq couples d'entiers a et b (a ≤ b) tels que a x b = 48: (1, 48), (2, 24), (3, 16), (4, 12) et (6, 8).
On peut voir que 6 et 8 ont chacun 4 diviseurs. Donc, parmi les cinq couples, l'un d'entre eux est composé de deux entiers ayant le même nombre de diviseurs.
Soit C(n) le nombre de couples d'entiers positifs a et b tels que a x b = n, a ≤ b, et tels que a et b ont le même nombre de diviseurs.
Ainsi C(48) = 1.

On donne également:
C(9!)= 5 : (384, 945), (420, 864), (480, 756), (540, 672) et (560, 648).
C(10!) = 3 : (1680, 2160) , (1800, 2016) et (1890, 1920).

Que vaut C(40!) ?

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