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Problème 253

Les trombones

Un papetier possède des chaînes de trombones attachés à la suite les uns des autres.
Lors d'une "manipulation", il détache un trombone à ses deux extrémités et obtient ce trombone ainsi que deux nouvelles chaînes plus petites. Une manipulation ne peut pas concerner un trombone à l'extrémité d'une chaîne

1. Quelle est la plus longue chaîne initiale qui permet au papetier, en 10 manipulations réalisées au préalable, de fournir à un client n'importe quel nombre de trombones compris entre 1 et la longueur de la chaîne, sans avoir à effectuer de manipulation supplémentaire devant lui, mais simplement en réunissant un certain nombre des sous-chaines obtenues?

Le papetier reçoit une chaîne formée de 10'000 trombones de trois couleurs différentes: le premier est rouge, le deuxième bleu, le troisième vert. Il remarque qu'en enlevant un trombone sur quatre (à partir du quatrième: le 4, le 8, le 12...), la suite des 2500 trombones enlevés est identique à la suite des 2500 premiers trombones de la chaîne initiale et la suite des 7500 restants est identique à celle des 7500 premiers trombones de la chaîne initiale.

2. Quel est le nombre de trombones rouges, bleus et verts de la chaîne?

On saisira la somme du résultat du 1 et du produit des 3 résultats du 2.

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