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Problème 58

Nombres premiers sur une spirale

En partant de 1 et en formant une spirale en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, on obtient un carré de largeur 7:

37 36 35 34 33 32 31
38 17 16 15 14 13 30
39 18  5  4  3 12 29
40 19  6  1  2 11 28
41 20  7  8  9 10 27
42 21 22 23 24 25 26
43 44 45 46 47 48 49

Il est intéressant de remarquer que les carrés impairs se trouvent sur la diagonale partant de 1 vers le coin inférieur droit. Il est encore plus intéressant de constater que 8 des 13 nombres se trouvant sur les diagonales sont premiers, soit environ 62% des nombres premiers.
Si l'on ajoute une couche à la spirale, on obtiendra un carré de largeur 9.
En continuant ce processus, pour quelle largeur de la spirale y aura-t-il pour la première fois moins de 13% de nombres premiers sur les diagonales ?

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